【E資格不合格から学ぶ】統計学（条件付き確率とベイズの定理）のポイントを解説！

機械学習において大量のデータを適切に扱う必要が！

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• Q. オッズ（odds）を表した式を下記の選択肢から選べ。
  オッズ（odds）とは確率pで起こる事象Aについて、Aが起こる確率と起こらない確率の比であり、競馬などでも使われている。
  1. 1/p
  2. p/(1-p)
  3. 1/(1+p)
  4. (1-p)/p
• A. 正解は2.p/(1-p)

• 一般的に事象Aと事象Bに対して･･･
  • P(A)：事象Aが起きる確率
    （=データAが得られる確率(=周辺尤度)）
    ↑ ベイズ則②式の左辺の積分が1になることを保証する規格化（=正規化）係数
  • P(B)：事象Bが起きる確率
    （=パラメータBの事前確率分布）
    ↑ 一様分布のような比較的高いエントロピーを持つ分布が使われる
  • P(B|A)：ある事象Aが与えられた下で、Bとなる確率
    (=データAが観測された時のパラメータBの事後確率分布)
  • P(A|B)：ある事象Bが与えられた下で、Aとなる確率
    (＝パラメータBの条件下でデータAが得られる条件付き確率(=尤度))

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実データの観測を通してモデルパラメータBのより確からしい確率分布を推定

• Q1.ある街の子供たちは毎日1/4の確率で飴玉をもらうことができ、飴玉をもらうと1/2の確率で笑顔になるという。その街の笑顔な子供が飴玉をもらっている確率を求めよ。（ただし、この街の子供たちが笑顔でいる確率は1/3である。）
• A1.例題の内容を整理すると
  P(飴玉)：飴玉をもらう確率＝1/4
  P(笑顔)：笑顔でいる確率=1/3
  P(笑顔|飴玉)：飴玉が与えられた下で、笑顔となる確率=1/2
  P(飴玉|笑顔)：笑顔でいる下で、飴玉をもらっている確率=?　
  P(飴玉)　×　P(笑顔|飴玉)　=　P(笑顔∧飴玉)
  1/4　 × 　 1/2 =　　　1/8
  
  P(笑顔∧飴玉)　=　P(飴玉∧笑顔)　← ベイズの定理
  　　　　　　　　　　↑
  （ P(飴玉)×P(笑顔|飴玉)＝P(笑顔)×P(飴玉|笑顔)）
  
  P(飴玉∧笑顔) ＝　P(笑顔)　×　P(飴玉|笑顔)　
  　 1/8　 　＝　 1/3　　×　 P(飴玉|笑顔)
  P(飴玉|笑顔)　 ＝　 1/8/(1/3)
  
  したがって答えは
  P(飴玉|笑顔)=3/8

• Q2.ある学生の性別データから学校Aか学校Bかを判別するモデルを考える。学校Aの男女比は7:3で生徒数は1000人,学校Bの男女比は2:8で生徒数は250人であるとする。ある入力データxiについて性別が女子であった時、学校Aに属する確率を求めよ。ただし、ここで性別は男子もしくは女子しか考えないものとする。
• A2.

• Q3.罹患(りかん)率0.01%の病気の罹患状況について考える。この病気の検査方法では、実際に罹患している人間が陽性と診断される確率が98%、罹患していない人が陰性と診断される確率は80%となる。
  　この時、陽性だと診断された場合、本当に罹患している確率として最も近い選択枝を以下の中から選びなさい。
  なお、陽性だと診断される確率は20%とする。
  補足）「罹患」とは病気にかかること、疾病すること。
• A3.
  x：罹患
  C：陽性
  とすると、今回求めたい「陽性だと診断された場合、本当に罹患している確率」は次のように表現できる。
  P(x|C)：陽性だと診断された場合、本当に罹患している確率
  上記をベイズの定理を用いて表現すると、
  　P(x|C)＝P(C|x)・P(x)／P(C)･･･①
  ここで、
  　P(C|x)＝98%
  　P(x)=0.01%
  　P(C)=20%
  であるから、これらの値を式①に代入すると
  　P(x|C)＝98･0.01／20
  　　　　＝0.049
  　　　　≒0.05%